기하학의 기초_공간과 차원

<기하학의 기초>

목차
기하학의 공간
기하학의 차원
  - 일상의 차원에 대한 해석
  - 수학적 차원
기하학의 기본요소

 

기하학의 공간 : 수학적 공간의 의미

  수학에서는 많은 유형의 공간이 있습니다. 대게 수학적 공간은 점, 집합 또는 벡터로 구성되어 있으며 각각의 공간과 그 공간의 성분들은 수학적 성질을 따릅니다. 수학적 공간은 공간의 이름은 연구가의 이름을 따서 붙이는데 그 예로는 유클리드 공간, 민코프스키 공간이 있습니다. 가장 일반적인 유형의 수학적 공간 중 하나는 위상공간입니다.

 

( *참고 : 위상공간은 어떤 점의 주변에 대한 정보를 갖고 있을 뿐 그들 사이의 공간적으로 떨어진 길이나 평면의 양을 의미하는 넓이, 점들이 차지하는 공간의 크기에 대한 자료들을 포함하지 않습니다.)

 

 

기하학의 차원

일상의 차원

  일반적으로 평면에 나타낼 수 있는 것은 2차원, 공간에 존재하는 것은 3차원으로 사물들을 바라보는 개념이 익숙하지만 이 외에도 일상에서는 다양한 차원이 존재합니다.

 

  0차원은 공간에서의 한 점으로 생각할 수 있으며, 1차원은 직선이나 곡선으로 보이는 것을 의미합니다. 1차원을 또 다른 시각에서 보자면 시간을 예로 들 수 있습니다. 시간은 현재를 기준으로 이전과 이후로 구성된 것으로 길이의 짧고 긺과 관련 없이 이전과 이후가 연장된 것이므로 연대표에서의 직선과 비슷하게 생각할 수 있는 것입니다. 따라서 시간은 1차원 객체로 봅니다.

 

  2차원은 사각형 같은 공간에서 2개의 좌표로 정의되는데요, 우리 주변에서 쉽게 볼 수 있는 가장 분명한 2차원은 그림이나 사진을 그 예로 들 수 있습니다. 물론 그 속에 담겨있는 사물이나 그림들은 3차원 사물을 표현하고 있긴 합니다.

 

  3차원은 우리가 몸담고 있는 공간을 의미합니다. 3차원은 주변의 모든 것에 깊이를 포함합니다.  4차원 또는 그 이상의 고차원의 측면들은 주로 수학자나, 과학자들, 경제학자들에 의해 사용되며 날씨패턴을 모형화하고, 주식시장에서의 상승과 하락 같은 복잡한 수학을 위해 사용 및 활용됩니다.

 

 

수학에서의 차원

 

  수학에서의 차원은 수학적 대상이나 기하학적 대상이 나타내는 점, 그 대상위에 있는 점들을 설명하기 위해 필요한 좌표의 수를 의미합니다. 차원의 개념은 수학에서 기하학적 대상을 개념적 또는 시각적으로 정의할 때 중요한 요소입니다. 이때 직접적으로 시각화할 수 없는 추상적 대상들에도 적용할 수 있습니다.

 

  보통 1차원 상의 점은 실수로 표현하고, 2차원 상의 점은 두 실수로 표기합니다. 3차원 상의 점은 세 실수로 나타냅니다. 3차원 이상의 고차원도 존재하며 고차원 기하학의 기본적인 기하학적 구조인 선, 면, 공간, 초공간은 모두 특별한 방법으로 배열된 무한히 많은 점들로 구성되어 있습니다. 각 차원은 1개의 점에서 여러 개의 점들까지 공간에 있는 점들을 나타냅니다.

 

기하학의 기본 요소 : 점

  n개의 좌표를 사용하는 n차원 공간에 있는 0차원 도형을 점이라고 합니다. 처음 점의 개념을 설명하는 것은 수학자들에게 간단하지 않았습니다. 예를 들면 유클리드는 점을 ‘부분이 없는 것’ 이라고 정의하기도 했으며 ‘폭이 없는 길’을 선, ‘그 위에 점이 평행하게 놓여 있는 선을 직선이라고 정의하기도 하였습니다.

 

  현대 수학에서의 점은 1차원 도형으로 보고 있으며 수학적으로 선은 점이 이동하는 이론적인 통로이며, 길이 이외의 다른 것은 갖고 있지 않는 것으로 정의하고 있습니다. 선은 직선으로 부르기도 하며 어디에도 굽은 곳이 없다는 것을 강조하기 위해 곧은 선이라고 부르기도 합니다.

 

  그렇다면 기하학에서 곡선은 무엇일까요?

곡선은 1차원 공간에서 n차원 공간까지 점이 각 공간내부를 연속적으로 움직일 때 생기는 선입니다. 일반적으로 곡선은 직선제외한 선을 의미합니다. 해석기하학에서는 방정식이나 함수의 그래프에서 원, 타원, 쌍곡선, 포물선 같은 평면 곡선을 사용합니다. 이외의 좀 더 복잡한 계산을 필요로 하는 곡선은 공간곡선으로 미분기하학에서 주로 사용됩니다.

 

 

기하학의 시초