대수학의 기초
대수학이란
대수학은 일반적으로 두 가지의 의미를 갖고 있습니다.
하나는 학교 대수로서 중, 고등학교에서 배우는 대수를 말합니다. 이때의. 대수는 산술이라고도 합니다. 또 하나는 하나 이상의 변수를 가진 다항방벙식을 푸는 것을 의미합니다. 그러나 수학자들은 수 체계 및 그 체계 내에서의 연산에 대한 추상적 연구와 관련하여 대수학이라는 용어를 주로 사용합니다.
용어의 기원
그렇다면 대수학이라는 용어는 어디에서부터 시작되었을 까요?
대수학을 뜻하는 “algebra'는 페르시아의 수학자 무하마드 이븐 무사 알 콰리즈미가 쓴 책의 제목 [알 자브르 왈 무카발라] 에서 기원을 찾을 수 있습니다. 이 책에서는 대수적 방법들의 근거에 대해 설명하고 있습니다.
대수적 방법과 개념들의 사용을 고안한 고대 수학자
이름의 기원은 무하마드 이븐 무사 알 콰리즈미의 책 [알 자브르 왈 무카발라]에서 시작되었다고 하지만 그 대수적 방법들과 개념은 언제부터일까요? 수학자들의 주된 공통된 의견은 헬레니즘 시대의 그리스 수학자 디오판토스가 자신만의 대수적 표기법을 개발하였고 그가 만든 여러 용어들이 아랍인들에 의해 보전되어 왔습니다. 그래서 대수학의 아버지로 디오판토스가 불리기도 합니다.
이 기록들이 16세기에 라틴어로 번역되면서 대수적 발전이 시작되었으며 ‘현대 대수학의 창시자’로 거론되는 근대 프랑스 수학자 비에뜨에 의해 현대 기호대수학이 보급되었습니다.
비에뜨는 수학자는 아니었지만 그의 연구를 통해 고대부터 이어져온 고대 수학의 가치를 입증하기도 하였습니다. 전통의 대수학이라고 하면 기하학적 시각표상에 바탕을 둔 것이 일반적이었습니다. 하지만 비에뜨는 대수학을 추상적인 공식과 일반적인 규칙으로 나타내었습니다. 우리가 일반적으로 대수라 하면 떠오르는 방정식을 세우고 이를 통해 정리, 증명하고 해를 도출해 내는 그 과정을 나누기도 하였으며, 처음으로 대수학을 기하학과 삼각법과 결합하는 등 새로운 수학을 창시하였습니다.
대수방정식
수학에서 식은 수나 변수를 사용하여 나타낸 것을 말합니다. 두 식 사이에 등호를 넣어 나타내면 그것을 방정식이라고 합니다. 이와 마찬가지로 대수방정식 또한 2개의 수나 문자. 식이 같은 것을 의미합니다. 그러나 대수방정식은 방정식에 들어있는 여러 수와 1개 이상의 변수를 간단히 하여 해를 구합니다. 일반적으로 대수방정식은 다항방정식이라고 부릅니다.
변수란
대수방정식에서의 변수는 미지수를 나타내는 데 사용되는 기호로 방정식을 해결하기 전까지 xx 또는 yy 등의 문자로 남아있습니다. 이 변수를 미지수라고도 합니다.
변수는 독립변수와 종속변수로 분류됩니다. 독립변수는 증가하거나 감소하는 양 또는 같은 식에서 무수히 많은 값을 가진 양입니다. 종속변수는 변하지만 독립변수에서의 변화에 따라 생성되는 양이며 즉, 종속변수의 값은 독립변수에 의해 좌우됩니다.
수학에서 독립변수는 그 값이 다른 변수의 값을 결정하는 변수를 의미하며, 통계학에서 변수는 실험이나 연구에서 어떤 것의 원인이 되는 변수로 원인변수라고도 합니다. 이런 점에서 대수학에서의 독립변수와 종속변수는 수학과 통계학에서 약간 차이가 있다고 볼 수 있습니다.
(참고 : 1개의 변수를 가지고 있는 방정식에서 미지수에 대입했을 때 방정식을 참이 되게 하는 수를 ‘해’라고 합니다. 만족하는 해를 구할 때는 사칙연산의 혼합계산 순서에 따라 계산합니다.)
변수 사이의 관계 : 함수
한편 변수들 사이의 관계를 나타내는 수식의 경우 함수라 합니다. 함수는 대수적 연산만을 포함하며 어떤 함수가 1개의 독립변수를 가지고 있으면 종속변수는 그 함수에 따라 정해집니다.
1개의 변수를 가지고 있는 함수를 1변수함수1 변수함수, 2개의 변수를 가지고 있는 함수는 2변수함수2 변수함수, 3개 이상의 변수를 가지고 있는 함수는 다변수함수라 합니다. 2개의 변수를 가지고 있는 함수를 다변수함수라 하는 학자들도 있습니다.
대수함수는 다항함수와 유리함수를 포함하고 있습니다. 그러나 대수함수와 다항함수에서만 함수라는 용어를 사용하는 것이 아니라 혼동되지 않은 서로 다른 유형의 함수들이 많이 있습니다. 수학의 본질적인 성질로서 여러 변수 간의 관계를 나타내는 것을 선호하다 보니 여러 수학자들이 함수라는 용어를 많이 사용하는 것으로 보입니다.